Курс теории вероятностей и математической статистики

Отсюда след\'ет, что выборочная дисперсия S является несмещенной оценкой. Найдем дисперсию оценки S~: <7 ' D[S'-]= D -Z' = ^D{z-)=^2n = 2(7 n При и^00 дисперсия оценки 7)[ 5""]= 2cr 0. Таким образом, оценка дисперсии iS"" является асимптотически эффеетивной. В том сл^-чае, если т,. неизвестно, то в качестве оценки дисперсии принимают выборочную дисперсию, которая вьиисляется по форм\'ле -Щ)' n-li=i и назьшается исправленной дисперсией. Эта оценка является несмегченноИ. Для доказательства этого утверждения преобразуем оценк\' дисперсии 5"" к вид\': 1 S- = п - 1 i =l Xj - (7 О- 2 —-X , п - 1 где х~ ~ величина «хи-квадрат» с и - 1 степенями свободы, математичес­ ким ожиданием М(х~) = и - 1 и дисперсией D(x~') = 2 (п - П. Это обусловлено тем, что межд\' сл^-чайными величинами Xj - т,. существует одна линейная связь, определяющая . Поэтому' в данном сл^-чае сумма квадратов связанан е с и , а с и - 1 степенями свободы. Тогда Л/[5'-] = М и- 1 Ж" СТ' п — тМ( ^г - )=-^ (и-1 ) = cr-=D^. 1 /7 — 1 Исправленная дисперсия является также асимптотически эффектив­ ной оценкой, так как -94-