Курс теории вероятностей и математической статистики

где X j = О означает, что событие А не произошло, а = 1 означает, что событие .-J произошло. Определим и = +lpi =Pi, Д А ' ; ] ={0-p-)-q^ +Q-Pi)'Pi = phi = PiQAPi +Qi) = PiQi < 1 / 4 . Таким образом, сл\'чайная величина удовлетворяет условиям обобщенной теоремы Чебышева. 1 и 8. 1 " 1 " Принимая во внимание, что — =т/п = р , — = —"^Pj. Иг =1 Иг =1 ' Иг =1 По обобщенной теореме Чебышева нол^-чим { \ " 1 " 1 f s . 1 " 1 limP<^|-^X;—\<е\ = \,шш 11тР<^|;з —^р^\<е\=\, J И^со [ J что завершает доказательство. 5.5. Центральная предельная теорема Центральная предельная теорема утверждает, что каковы бы ни были распределения независимых сл\'чайных величин Л',, сумма этих величин Y = А'] + Л'о н н Л'„ при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к нормальном^' закон>' распределения {асимптотически нормшьна) с математическим ожиданием и дисперсией и ' , определяемыми соотношениями " 2 ^ 2 ГПу = Z'Wx,- = Сг; = ЦС^Х,- г=1 г = 1 Эта фундаментальная теорема впервые была сформ\'лирована еще в 1812 г. Лапласом. Строгое доказательство при довольно обпрк условиях было сделано Ляпл'новым (1901 г.У Проблема нахождения обпрк условий решена Феллером, Хинчиным и Леви. Докажем эту теорем\' для одного из -77-