Курс теории вероятностей и математической статистики

D =Л [ Л=0 1 " Иг =1 = —D n i = \ 1 " 1 1 = ^ ^ Д Л ' ; ] < ^ и Ь =- L < 00. и , =1 n n Применим неравенство Чебышева: P{\Y -т |<«?} > 1 - -^D или Р { | - - - |< «?} > 1 - -^L, ns- ns- отк\'да след\'ет, что lim P<j \- --Тт \<е [• = 1 . 5.3. Теорема Бернулли Теорема Бернулли. При неограниченном числе независимых опытов п —у X' частота появления события А: р = т п ( т -число появления события А ) сходится по вероятности к его вероятности р: lim Р{\р'' -р |< е} = 1 . *7—>со Доказательство. Пусть X j - дискретная с.щ.'чайная величина с математическим ожиданием М[Х^] = т^, и дисперсией ] = D^., характеризующая появление события А в /-м опыте, чакон распределения которой определяется рядом A ' , 0 1 1 ' II P где Л', = О означает, что событие А не произошло, а X j = 1 означает, что событие .-J произошло. Определим т^, и M\Xj] = Oq+lp = р-, =(0 - pfq+i^ -р)~р = p'q + q'p = pqip + q) = pq<\i л. -75-