Курс теории вероятностей и математической статистики

5.1. Неравенство Чебышева Пусть имеется сл\'чайная величина Л' с математическим ожиданием М[Х^=т^ <оои диснерсией D[x\=D^ < оо. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать оненк)' отклонения сл\'чайной величины от ее математического ожидания т,. , которое определяется след\'ющим образом. Вероятность того, что отклонение случайной величины Л' от ее математического ожидания т^ по абсолютной величине больию числа е, ограничена сверху величиной D,. /е'т.е. Р{\Х-т^\> е} <D^I е~ или Р{\Х-т^\< е}>\-D^l Доказательство. Пусть Л' - дискретная сл^-чайная величина. Так как возможные реализации значений х^сл^-чайной величины Л' образуют полщ'ю групщ' несовместных событий, то Р{\Х-т^\>е}= Y.P, > п п Dx = - т^У Pi = E l Г Pi > E l " '«х Г Pi ^ Г =1 Г =1 I - TYIX I - ^ Р(х) т^+ S X X ^ 5 J (рис.5.1) вероятность Ел =е-Р[\Х-т^\>е}, \Xj-mJ^E отк\'да след\'ет неравенство Чебышева. Для непрерьтной сл\'чайной величины Р{\Х—т,.\>е} = jp(x)dx= jp{x)dx+ j p(x)dx; |X Шу. \-- £ CO 0 ^x ~ J {x-m^y p{x)dx+ J {x - p^x^dx + -72-