Курс теории вероятностей и математической статистики

г л а в а 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Из определения сл\'чайной величины следает, что для сл^-чайной величины заранее нельзя с достаточной ^ъеренностью предвидеть, какое из возможных значений она примет в итоге испытания, так как это зависит от многих сл^'чайньЕч факторов, которые все ^-честь невозможно. Однако поведение суммы достаточно большого числа сл\'чайньЕС величин практически утрачивает сл\'чайный характер и становится закономерным. Для пра1сгики очень важно знать условия, при которых совок\'пное действие достаточно многих сл^-чайных причин приводит к результату, позволяющем^' предвидеть ход явлений. Эти условия устанавливаются в так назьшаемых предельных теоремах, носянрк название закона больших чисел. Предельные теоремы можно разделить на два типа. К первому' ТИП}' относятся теоремы, которые устанавливают, что среднее значение достаточно большого числа сл\'чайньгх величин обладает достаточной устойчивостью и может быть предсказано с высокой степенью точности. Ко второму' ТИП}' относятся теоремы, в которых устанавливается, что поведение средних величин в пределе может быть оценено законом распределения близким к нормальном}'. Эти предельные теоремы дают возможность давать прогнозы реализаций сл}'чайных величин, а также оценить точность этих прогнозов. Инвариантом закона больших чисел применительно к независимым сл}'чайным величинам являются неравенство Чебышева, теорема Чебышева, теорема Берщ'лли и теорема Пуассона. Из предельных теорем мы рассмотрим только центральщ'ю пре- дельщ'ю теорем}' Ляп}'нова. -71-