Курс теории вероятностей и математической статистики

жляется одной из форм закона распределения. Ф\'нкция распределения имеет следатощие основные свойства. I.Значения функ1)ии распределения принадлежат отрезку [0,1]: О < F{x) < 1 Доказательство вытекает из определения F(x) как вероятности 0<Р(Х<х)< 1. 2. F{x) - неубываю111ая функ1)1т, т.е. ) F(X[ ), если Xj Xj Доказательство. Представим событие (А' < Xj ) (рис.3.2) суммой дв^-х несовместных событий (А'< Xj ) + (xi <А'<Х2 ). Тогда по теореме сложения имеем Р(Х<Х2 )=Р(Х< Х [ )+Р(Х[ <Х<Х2 ) , Р(Х<Х2 )-Р(А'< Х [ )=Р(Х[ < ^ 1 ' < Х 2 ) , Х [ X j Рис.3.2 отк\'да F{X2 ) —F(XI ) = P(xi <А'< XJ )>0. Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервапе от Xj до Xj , равна прираи(ению функ1(ии распределения на это.ы интервапе: P(Xi <А'< Xj ) = Р(х2 )—F(Xi ). Это следствие вытекает из соотношения F ^ X j ) - Р ( Х | )=Р(Х[ <А'< х^ ). Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю. Действительно положим Xj = Xj +Av-, тогда согласно следствию 1 P(xi <А'< Xj +Av")=F(X( +Av") —F(X] ). Так как А' непрерьтная с.щ.'чайная ве.пичина, то F(x) непрерьтна. Тогда при х-^ О разность F( Xj +Av) - F( Xj 0. Следовательно, P(A'= Xj ) = 0. A' < X[ -38-