Курс теории вероятностей и математической статистики

Теорема 2. 9. (теорема Я. Бернулли). Если производится п незави­ симых опытов, в каждом из которых событие А поя&пяется с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно т раз в п опытах, выражается формулой: ^т,п Р Ч . .У Ч ? {п—т)\т\ где q = \-р. Проведем доказательство этой форм\'лы по метод\' инда'кции. Пусть производится п = 2 опытов, в каждом из которых может пожиться или пе появиться некоторое событие А . Вероятность появления события А в каждом опыте равна р , а вероятность не появления q = р. Требуется определить вероятность р того, что событие А в этих дв^-х опытах появится ровно т = 1 раз. Рассмотрим событие В , состоягцее в том, что событие А появится в п = 2 опытах ровно т = \ раз. Это событие может произойти в дв^-х несовместных сл^-чаях: - событие А происходит в первом опыте и не происходит во втором, Л[Л, - событие А происходит во втором опыте и не происходит в первом. Следовательно, событие В можно представить как сумм\' дв^-х несовмест­ ных событий В = Лр42 + Л[Л2. Учитьшая, что события, входягцие в произведения событий, несовместны, по теоремам сложения и ^тмпоже- пия независимых событий нол^-чим: Р(В) =р(1 -р) + (1 -р)р =pq + qp = 2pq = C\pq Рассмотрим теперь п = Ъ,т = 2. Событие В может произойти в трех случаях: Лз - событие Л происходит в первом и во втором опыте и пе происходит в третьем. -31-