Курс теории вероятностей и математической статистики

Имеется полная группа песовместпых гипотез (событий) Н^,Н2,... ,Н„- Известны вероятности этих гипотез до опыта Р(Н^),Р(Н,Р{Н^). Произведен опыт, в результате которого имело место событие А. Требуется определить условщто вероятность |J ) гипотезы после того, как имело место событиеА . Теорема 2.8. Пусть полная группа несовместных событий. Тогда, если произоито событие А, то Р{Н,\А) = Р{Н,)Р{А\Н,)1±Р{Н,)Р{А\Н,). 1=1 Доказательство. Пусть произопшо событие А с одним из событий Я,, т.е. событиеА . По теореме умножения РС4Я,) = Р(Л)Р(Я, IJ) = Р(Я,)Р(Л IЯ,), отк\'да Р(Я,|Л) = Р(Я,)Р(Л|Я,)/Р(ЛУ Выражая Р(А) с помощью форм\'лы полной вероятности П Р{А)= '^Р{Н^)Р{А\Н^), по.п\'чим форм\'.п\'теоремы2.8. 1=1 Форм\'ла теоремы 2.8. носит название формулы Байеса, а сама теорема 2.8 - теоремы гипотез. Теорема гипотез позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событиеJ . Пример: Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одном\' выстре.п\' по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка 0,8, второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Пайти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому' стрелку. Решение. До опыта возможны следатогцие гипотезы: - оба -29-