Курс теории вероятностей и математической статистики

г л а в а 2 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий Теорема 2.1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р Л 1 '•^2 т к Рис.2.1 Докажемxeopew для схемы случаев. Доказательство проводится методом полной ИНД\'КЦИИ. Рассмотрим два песовместпых события и A j . Событию благоприятствует т, а событию - благоприятствует к сл\'чаев фис.2.1), т.е. P(Ai} = m/n, Р{А2) = к/пЛак как Д и Aj песовместпы, то пет таких сл\'чаев, которые благоприятны А^и вместе ( Д Л^). Следовательно, событию благоприятны то + А-сл\'чаеви Р(Б) = Р(^А^+А2) = (т + куп = т п + А'и =Р(J j ) + Р( )• Отсюда следу'ет, что для трех несовместных событий Р(В+4 ) = Р(В) + Р(Лз )=Р(Д) +Р ( Д )+Р(Лз ). Тогда для события С = Д +А2+ ... + имеет место р (с +4, )=Р( 0+РС. 4 )=Р(Д) +Р ( Д )+... +Р(4,), что и требовалось доказать. Следствие 1. Ес.пи события А^,Ат,...,А^^образуют полную группу несовместных событий, то су.лша их вероятностей равна единице. ±Р(Л.) = 1. /=1