Вычислительная физика

92   1 0, 0, 1. n k i i n i i At P t k n      (5.19) Если положить   0 n i P t  , то соотношения (5.19) будут выполняться при любых значениях , 1, i A i n  . Таким образом, для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (5.15) в качестве точек i t достаточно взять нули соответствующего полинома Лежандра. В силу свойства 3 эти нули действительны, различны и расположены на интервале   1,1  . Подставив найденные значения i t в систему (5.17), которая при этом становится линейной, из первых n уравнений можно найти коэффициенты , 1, i A i n  . Определитель этой подсистемы является определителем Вандермонда   0 i j i j t t       , и, следовательно, коэффициенты i A определяются однозначно. Формула (5.15), где i t - нули полинома Лежандра   n P t и , 1, i A i n  определяются из системы (5.17), называется квадратурной формулой Гаусса. Неудобство применения квадратурной формулы Гаусса состоит в том, что абсциссы точек i t и коэффициенты i A - вообще говоря, иррациональные числа. Этот недостаток отчасти искупается ее высокой точностью при сравнительно малом числе ординат. Для вычисления общего интеграла   b a f x dx  по квадратурной формуле Гаусса делают замену 2 2 b a b a x t     . Тогда   1 1 1 2 2 2 2 2 2 b n i i i a b a b a b a b a b a b a f x dx f t dt A f t                            , (5.20) где i t - нули полинома Лежандра, 1, i n  .