Вычислительная физика

90 3) полином Лежандра   n P x имеет n различных и действительных корней, которые расположены на интервале   1,1  . Свойство 2 называется свойством ортогональности полиномов Лежандра. Перейдем к выводу квадратурной формулы Гаусса. Рассмотрим сначала функцию   y f x  , заданную на отрезке   1,1  . Поставим задачу: как нужно подобрать точки 1 2 , ,..., n t t t и коэффициенты 1 2 , ,..., n A A A , чтобы квадратурная формула     1 1 1 n i i i f t dt A f t      (5.15) была точной для всех полиномов   f t наивысшей возможной степени N . Так как в распоряжении имеется 2 n постоянных i t и , 1, i A i n  , а полином степени 2 1 n  определяется 2 n коэффициентами, то эта наивысшая степень в общем случае равна 2 1 N n   . Для обеспечения равенства (5.15) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при   2 2 1 1, , ,..., n f x t t t   . Действительно, полагая 1 1 1 , 0,2 1 n k k i i i t dt At k n        (5.16) и   2 1 0 n k k k f t C t     , будем иметь:     1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 . n n n n n n k k k k k k k i i i k i k k k i i k n i i i f t dt C t dt C t dt C At A C t A f t                               . Таким образом, учитывая соотношения: