Вычислительная физика

73 §4.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона Пусть на отрезке   , a b заданы равноотстоящие точки i x : 0 , 0, i x x ih i n    , b a h n   , и известны значения функции в этих точках   , 0, i i y f x i n   . Требуется найти производные     , ,... f x f x   на отрезке   , a b (заранее известно, что эти производные существуют). Заменим функцию   y f x  интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для узлов , 0, i x i n  , воспользовавшись первой интерполяционной формулой Ньютона:                    2 3 0 0 0 0 4 0 0 1 1 2 2! 3! 1 1 1 2 3 , 4! ! n n q q q q q y x P x y q y y y q q q n q q q q y y n                        (4.1) где 0 x x q h   . Произведя перемножение биномов и приведя подобные, получим:   2 3 2 2 3 0 0 0 0 4 3 2 4 0 3 2 2! 3! 6 11 6 4! q q q q q y x y q y y y q q q q y                  (4.2) Так как 1 dy dy dq dy dx dq dx h dq     , то   2 2 3 0 0 0 3 2 4 0 1 2 1 3 6 2 2 6 2 9 11 3 . 12 q q q y x y y y h q q q y                        (4.3)