Вычислительная физика

7 правой частях соотношения (1.3), получим     0 2 1 lim lim       ab a b n n n n n . Тогда     n n n n b a lim lim . С другой стороны, из (1.2) следует, что            f af bf n n n lim . Последнее неравенство возможно только тогда, когда   0  f . Следовательно,  является корнем исходного уравнения (1.1). §1.3. Метод простых итераций Пусть известно, что нелинейное уравнение   0  xf , где   xf - непрерывная функция, имеет на отрезке   ba , единственный вещественный корень   ba ,  . Требуется найти этот корень с заданной точностью  . Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение (1.1) к виду   x x  (1.4) Выберем произвольно приближенное значение корня (начальное приближение)   ba x , 0  и вычислим первое приближение   1 0 x x   . Найденное значение 1 x подставим в правую часть соотношения (1.4) и вычислим   2 1 x x   , и так далее, т.е.   ,... 2,1,0 , 1    n x x n n (1.5) Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность ,... , , 2 1 0 xxx . Если существует предел этой последовательности, то он и является приближенным значением корня уравнения (1.4). В самом деле, пусть   n n x lim . Тогда, переходя к пределу в равенстве (1.5)   1 lim lim      n n n n x x и учитывая непрерывность функции   n x  на отрезке   ba , , получим 1 lim lim          n n n n x x или    . Следовательно, предел последовательности   n x является корнем уравнения