Вычислительная физика

53 Полагая 0 x x  , получим:   0 0 1 n P x y a h     , откуда 0 1 y a h   . (3.18) Для определения коэффициента 2 a составим вторую конечную разность:             1 2 2 2 2 2 2 3 0 0 2! 2 3 ... 1 n n n P x h a h a x x n n h a x x            . Положив 0 x x  , получим:   2 2 2 0 0 2 2! n P x y h a     , откуда 2 0 2 2 2! y a h   . (3.19) Продолжая процесс, получим: 0 , 0, ! k k k y a k n k h    , (3.20) причем 0 0! 1, y y    . Подставляя найденные значения коэффициентов k a в выражение (3.16), получим интерполяционный полином Ньютона:               2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 2 ... 1! 2! ! n n n n y y y P x y x x x x x x h h n h            . (3.21) Этот полином полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, степень полинома   n P x не выше n ;   0 0 n P x y  ;                   2 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ... 2! 1 ... ... 2! ! 1 ...1 1 , 1, . ! n k k k k k k k k k k k k k y y P x y x x x x x x h h k k y x x x x x x y k y y k h k k y y y k n k                                