Вычислительная физика

42 2. Записать итерационные формулы метода простых итераций, метода Зейделя и метода релаксации для численного решения системы (1). 3. Написать программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы. 4. Составить отчет о проделанной работе. Решение. 1. Аналитическим решением системы являются значения: x= 1; y= 1; z= 1. 2. Метод простых итераций. Из системы (1) видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов. Заметим, что если указанные условия не выполняются, то путем элементарных преобразований систему необходимо к этому виду привести. Разделив каждое уравнение системы (1) на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец ) ,..., ( 1 n x x x  в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим итерационные формулы метода простых итераций:                   1 1 1 1 1 1 ; 3 3 2 2 1 ; 5 5 1 1 1 , 0,1, 2,... 3 3 3 k k k k k k k k k x y z y x z z x y k                       (2) Начальные приближения выбираются произвольно. Итерационный процесс метода простых итераций (2) заканчивается при выполнении условия:             1 1 1 k k k k k k x x y y z z           В этом случае значения       1 1 1 , ,    k k k z y x являются приближенными значениями решения СЛАУ (1). Метод Зейделя. В метод Зейделя найденное   1  k -е приближение