Вычислительная физика

4 Решение нелинейных уравнений распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений. На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то необходимо определить их количество, и затем найти интервалы, в каждом из которых находится только один корень, т.е. отделить корни. Первый способ отделения корней – графический. Данный метод позволяет определить количество корней на отрезке, но не единственность корня. Если   xf имеет простой аналитический вид, то, исходя из уравнения (1.1), можно построить график функции   xf y  . Тогда точки пересечения графика функции с осью абсцисс будут являться приближенными значениями корней исходного нелинейного уравнения. Если   xf имеет сложный аналитический вид, то можно представить ее в виде разности двух более простых функций       x x xf 2 1   . Так как   0  xf , то выполняется равенство     x x 2 1   . Построим два графика   x y 1 1  ,   x y 2 2  (Рис.1.1.). Тогда задача решения нелинейного уравнения (1.1) сводится к поиску абсцисс точек пересечения двух графиков, которые и будут являться приближенными значениями корней уравнения (1.1). Пример 1.1. Пусть дано нелинейное уравнение вида 0    x e x . Для решения его графическим методом представим уравнение (1.1) в виде     0 2 1    x x , где   x x   1 ;   x e x    2 . Графики функций x y  ; y y Рис.1.1   x y 1    x y 2  x  0 Рис.1.2. 1 x y  x e y   y x  0