Вычислительная физика

32 Теорема 2.1 (достаточное условие сходимости итерационного процесса). Если для приведенной системы x x     выполнено хотя бы одно из условий: а) 1 1, 1, ; n ij j i n      б) 1 1, 1, n ij i j n      , то процесс итерации, заданный формулой     1 k k x x      , сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения. В частности процесс итерации заведомо сходится, если элементы ij  приведенной системы (2.4) удовлетворяют неравенству 1 ij n   , где n - число неизвестных системы. Следствие Для исходной системы (2.1) итерационный процесс сходится, если выполнены неравенства 1 , 1, n ii ij i j a a i n      (то есть модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая свободных членов). Теорема 2.2 (необходимое и достаточное условие сходимости метода простых итераций для системы линейных алгебраических уравнений). Для сходимости процесса итераций     1 k k x x      при любом выборе начального приближения   0 x и любом свободном члене  необходимо и достаточно, чтобы собственные значения матрицы  (т.е. корни характеристического уравнения   det 0 E     ) были по модулю меньше единицы.