Вычислительная физика

20 простых итераций, если положить     ( ) f x x x f x     . Тогда достаточное условие сходимости метода простых итераций примет вид:           2 1 f x f x x f x       для всех   , x a b  . (1.20) Если выполнено условие (1.20), то итерационный процесс, заданный формулой (1.17), будет сходиться при произвольном выборе начального приближения 0 x . Достоинства метода: - метод Ньютона обладает достаточно большой скоростью сходимости, близкой к квадратичной; - достаточно простое получение итерационной формулы (1.17). Недостатки метода: - метод Ньютона сходится не при любом выборе начального приближения 0 x ; - метод Ньютона применим только, когда   0 f x   для любого   , x a b  . §1.5. Модифицированный метод Ньютона Если производная   f x  мало изменяется на отрезке [ , ] a b , то можно считать, что     0 n f x f x    . Заменив в формуле (1.17)   n f x  на   0 f x  , получим итерационную формулу модифицированного метода Ньютона:     1 0 , 0,1,... n n n f x x x n f x      . (1.21) В отличие от метода Ньютона, в модифицированном методе касательная заменяется на прямые, параллельные касательной, проведенной в точке     0 0 0 , B x f x (Рис.1.11).