Вычислительная физика

19 Из соотношения (1.17), учитывая знаки   n f x и   n f x  , следует, что 1 n n x x   , т.е. последовательные приближения 0 1 2 , , ,..., ,... n x x x x образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность. Т.е. эта последовательность имеет конечный предел, обозначим lim n n x    . Перейдем к пределу при n  в левой и правой частях соотношения (1.17), получим:         1 lim lim n n n n n n f f x x x f x f                     . Т.е.     f f        . Отсюда следует, что   0 f   , т.е.    . А это означает, что последовательные приближения n x сходятся к корню уравнения (1.1), что и требовалось доказать. Вывод: в методе Ньютона в качестве начального приближения 0 x выбирается тот конец отрезка [ , ] a b , которому отвечает ордината того же знака, что и   f x  , т.е. выполняется достаточное условие сходимости     0 0 0 f x f x   . (1.19) Замечание. Чем больше числовое значение   f x  в окрестности корня  , тем меньше правка n  . Поэтому методом Ньютона удобно пользоваться, когда в окрестности искомого корня  график функции   y f x  имеет большую крутизну (т.е.   n n f x   , тогда     0 n n n f x f x   ). Если кривая   y f x  вблизи точки пересечения с осью OX почти горизонтальная (т.е.   0 n n f x   , тогда     0 n n n f x f x   ), то применять метод Ньютона для решения уравнения (1.1) не рекомендуется. Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода