Вычислительная физика

18 методу Ньютона, заданного формулой (1.17), можно вычислить единственный корень  уравнения (1.1) с любой степенью точности. Доказательство. Пусть для определенности     0, 0 f a f b   ,   0 f x   ,   0 f x   при a x b   (остальные случаи рассматриваются аналогично). Из неравенства     0 0 0 f x f x   следует, что   0 0 f x  , т.е. 0 x b  . Докажем, что все приближения n x расположены правее  , т.е. n x   , а значит   0 n f x  . Доказательство проведем методом индукции: а) 0 x   ; б) предположим, что n x   ; с) докажем, что 1 n x    . Точное решение уравнения (1.1) можно представить в виде   n n x x      . Применяя формулу Тейлора, получим:                 2 0 1 2 n n n n n n n f f x x f x f x x f c x                 , (1.18) где n n c x    . Так как по условию теоремы   0 f x   , то последнее слагаемое в (1.18) положительное, следовательно,       0 n n n f x f x x      . Отсюда, в силу того, что   0 n f x   , получим:     1 n n n n f x x x f x       . Таким образом доказали, что все последовательные приближения 1 n x    , т.е. находятся правее  , и, следовательно,   1 0 n f x   .