Вычислительная физика

15 Для доказательства единственности корня на отрезке воспользуемся аналитическим методом. Функция ( ) f x непрерывна на отрезке [ 1, 0.1]   , имеет на концах отрезка разные знаки ( ( 1) 0.632; ( 0.1) 0.804 f f      ), а производная функции ( ) f x не меняет знак на отрезке ( ) 1 0 [ 1, 0.1] x f x e x         . Следовательно, нелинейное уравнение (1.14) имеет на указанном отрезке единственный корень. 2. Для построения итерационной формулы метода простых итераций перепишем уравнение (1.14) в виде: ( ) x x e x     . Проверим, выполняется ли достаточное условие сходимости (1.6). В точке 1 x   значение ' 1 ( ) 0.367 x x e e      , а в точке 0.1 x   ' 0.1 ( ) 0.904 x x e e      , т.е. условие выполняется. Запишем функцию ( ) ( ) x x cf x    . Так как   f x  всюду положительна на отрезке [ 1, 0.1]   , то константа c удовлетворяет неравенству   2 0; [ 1, 0.1] c x f x         . Придавая x различные значения из отрезка [ 1, 0.1]   и учитывая, что     2 2 1.47 1 f a f         ;     2 2 1.05 0.1 f b f         , можно сделать вывод, что значение c принадлежит интервалу 2 1.05 0 '( 0.1) c f       . Выбрав значение -0,800 -0,600 -0,400 -0,200 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 y y 0 y x e y  x y  x Рис.1.9  Рис.1.8