Вычислительная физика

132 При выборе  нужно исходить еще из требования, чтобы ошибка, которая возникает при замене дифференциального уравнения (7.23) конечно- разностным уравнением (7.25), была наименьшей. Введем обозначения:   2 2 u u L u t x       ,       1 1 1 2 1 1 2 h i j ij i j ij ij L u u u u u u h                . Разность       h h R u L u L u   является погрешностью, которая возникает при замене уравнения (7.23) конечно-разностными уравнениеми (7.25). Вычислим эту погрешность в узлах сетки для функции   , u x t , которая является решением уравнения (7.23). При этом   0 L u  и     h h R u L u  . Разлагая   h L u по формуле Тейлора в окрестности точки   , i j x t и ограничиваясь членами порядка 6 h , после приведения подобных членов получим:       2 4 2 2 2 4 2 6 3 2 4 6 6 3 1 12 2 1 . 360 6 ij ij ij ij h h ij ij u u u u R u L u h t x x t u u h O h x t                                                (7.28) Но так как   , u x t  решение уравнения (7.23), то заменяя частные производные по t на равные им частные производные по x , получим:     4 6 2 2 4 6 4 6 1 1 . 12 2 360 6 ij ij h u u L u h h O h x x                          (7.29) Выберем  так, чтобы первая скобка (7.29) была равна нулю. Получим