Вычислительная физика

127 Внутренние узлы h A и граничные узлы первого рода h B сетки h S называются расчетными точками. Граничные узлы второго рода h C в вычислениях не участвуют и могут быть изъяты из сетки. Множество расчетных точек сетки h S должно быть «связное», т.е. любые две расчетные точки можно соединить цепочкой узлов, каждые два смежных элемента которой являются соседними узлами. Значение искомой функции   , u u x y  в точках   , i j x y обозначим   , ij i j u u x y  . Для каждой внутренней точки   , i j x y сетки h S заменим дифференциальное уравнение (7.14) конечно-разностным уравнением   1 1 1 1 1 4 ij i j i j ij ij u u u u u         . (7.16) В граничных узлах первого рода h B сетки h S полагаем       h u B u B B    , (7.17) где B  ближайшая к h B точка границы  . Система (7.16) является неоднородной линейной системой, причем число уравнений равно числу неизвестных. Система (7.16) всегда совместна и имеет единственное решение, так как соответствующая однородная система имеет только тривиальное решение. Если число узлов сетки велико, то решение системы (7.16) затруднено. Кроме того, значения функции   , u x y в граничных узлах выбраны грубо. Это заставляет для решения системы прибегать к итерационным методам с одновременным исправлением граничных значений. Процесс усреднения Либмана Определение 7.5. Функция   , u x y , имеющая непрерывные частные производные второго порядка в области D и удовлетворяющая внутри области D уравнению