Вычислительная физика

123 называется уравнением Пуассона. §7.2. Уравнение Лапласа в конечных разностях Рассмотрим уравнение Лапласа 2 2 2 2 0 u u x y       . (7.7) Выбрав шаг 0 h  , заменим частные производные 2 2 u x   и 2 2 u y   отношениями конечных разностей по формулам             2 2 2 2 2 2 , 2 , , ; , 2 , , . u x h y u x y u x h y u x h u x y h u x y u x y h u y h               (7.8) Подставим (7.8) в (7.7), получим             2 2 , 2 , , , 2 , , 0. u x h y u x y u x h y u x y h u x y u x y h h h           Следовательно,           1 , , , , , 4 u x y u x h y u x h y u x y h u x y h             . (7.9) Оценим точность такой замены. Рассмотрим формулу Тейлора           2 , , , 1 1 , ... , , 2! ! n f x h y k f x y h k f x y x y h k f x y h k f x h y k x y n x y                                              (7.10) где 0 1    .