Вычислительная физика

111 функции y определяются по формуле:   1 1 2 3 4 1 2 2 6 i i i i i i y y k k k k       . (6.13) Погрешность метода Рунге-Кутта, заданного формулой (6.13), на каждом шаге есть величина порядка 5 h (в предположении, что     5 , f x y C  ). Формулу (6.13) еще называют формулой Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Помимо формулы (6.13) существуют еще другие формулы типа Рунге- Кутта с иными порядками точности. В частности формула 1 2 i i i y y k     формула Рунге-Кутта второго порядка точности. Эта формула на каждом шаге дает погрешность порядка 3 h . Для определения правильности выбора шага h на практике обычно на каждом этапе, состоящем из двух шагов, применяют двойной пересчет. Исходя из текущего верного значения   i y x , вычисляют   2 i y x h  двумя способами: вначале с шагом h , а затем с шагом 2 h . Если расхождение полученных результатов не превышает допустимой погрешности, то шаг h для данного этапа выбран правильно и полученное с его помощью значение можно принять за   2 i y x h  . В противном случае шаг уменьшается в два раза. Эту вычислительную схему легко запрограммировать на ЭВМ. Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы двух дифференциальных уравнений: 1 2 ( , , ), ( , , ), y f x y z z f x y z      с начальными условиями     0 0 0 0 , y x y z x z   . Формулы метода Рунге-Кутта для данной системы примут вид: