Вычислительная физика

11 ... ... 1 1 2 0 1 0         n n x x x x x x x , (1.10) ... ... 0 1 1 0 1 0 1 0         x x q x xq x x x n . (1.11) В силу соотношений (1.8) члены ряда (1.10) не превышают соответствующих членов ряда (1.11), которые являются членами геометрической прогрессии со знаменателем 1  q . Следовательно, ряд (1.10) сходится, а ряд (1.9) сходится абсолютно. Таким образом, существует      n n n n x S lim lim 1 , причем   ba ,  . Переходя к пределу в равенстве (1.5), в силу непрерывности функции   x  получим    . Следовательно,  - корень уравнения (1.4). Докажем, что этот корень единственный. Предположим, что на отрезке   ba , существует еще один корень  уравнения (1.4)    . Тогда в силу теоремы Лагранжа         c   , где c находится между  и  . Отсюда       0 1   c . Но   1   c , поэтому выражение в квадратных скобках не равно нулю. Следовательно,  , т.е.  - единственный корень уравнения (1.4). Приведение нелинейного уравнения   0  xf к виду   x x  , допускающему сходящиеся итерации Выполнения достаточного условия сходимости можно добиться путем перехода от исходного уравнения   0  xf к эквивалентному виду   x x  следующим образом: умножим обе части уравнения (1.1) на неизвестную постоянную 0   const c , 1  c , затем прибавим к обеим частям переменную