Вычислительная физика

10 сходится, определяет следующая теорема. Теорема 1.4. Пусть функция   x  определена и дифференцируема на отрезке   ba , , причем все ее значения   ],[ ba x  и выполняется условие   1   q x , при bx a  , (1.6) тогда процесс итераций, определяемый формулой (1.5), сходится независимо от выбора начального приближения   ba x , 0  и предельное значение n n x   lim является единственным корнем уравнения (1.4) на отрезке   ba , . Доказательство. Рассмотрим два последовательных приближения   1   n n x x и   n n x x   1 . По условию теоремы 1 ,  n n xx принадлежат отрезку   ba , . Применяя теорему Лагранжа, получим:         c x x x x x x n n n n n n           1 1 1 , где точка c лежит между 1  n x и n x . В силу условия (1.6) 1 1      n n n n x xq x x . (1.7) Придавая значения ,... 3,2,1  n , получим 0 1 1 2 x xq x x    , 0 1 2 1 2 2 3 x xq x xq x x      , … 0 1 1 1 ... x xq x xq x x n n n n n        . (1.8) Рассмотрим ряд     ... ... 1 1 2 0 1 0         n n x x x x x x x , (1.9) для частичных сумм которого выполняется соотношение n n x S   1 . Если докажем, что ряд (1.9) сходится, то тем самым будет доказана сходимость последовательности ,... ,..., , , 2 1 0 n x xxx . Сравним два ряда: