Вычислительная физика

107 §6.1. Метод Эйлера Этот метод обладает малой точностью и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов. Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием (задача Коши)   , y f x y   ,   0 0 y y x  (6.2) и выполняются условия существования и единственности решения. Теорема Пиккара (теорема о существовании и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (6.1) функция   , f x y непрерывна в прямоугольнике   0 0 0 0 ; D x a x x a y b y y b          и удовлетворяет в D условию Липшица     1 2 1 2 , , f x y f x y N y y    , где N - константа Липшица, то существует единственное решение   y y x  , 0 0 x H x x H     , уравнения (6.1), удовлетворяющее условию   0 0 y x y  , где 1 min , , b H a M N        ,   max , M f x y  в D . Требуется найти решение   y x задачи Коши (6.2). Выбрав шаг h - достаточно малый, равный   h b a n   , строим систему равноотстоящих точек 0 1 0 , , . . . , , , 0, n i x x x x x ih i n    . Искомую интегральную кривую   y y x  , проходящую через точку   0 0 0 , M x y , приближенно заменим ломаной Эйлера с вершинами   , 0,1,2... i i i M x y i  (Рис.6.1).