Вычислительная физика

106 ГЛАВА 6. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ. Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике. Методы их решения подразделяются на два класса: 1) аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций; 2) численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их числовых значений. Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи. Решить дифференциальное уравнение   , y f x y   (6.1) численным методом означает, что для заданной последовательности аргументов 0 1 2 , , , . . . , n x x x x и числа   0 0 y y x  , не определяя аналитического вида функции   y F x  , найти значения 1 2 , , . . . , n y y y , удовлетворяющие условиям:     0 0 , , 1 , k k F x y y F x k n    . Рассмотрим три наиболее распространенных при решении практических задач численных метода интегрирования: метод Эйлера, метод Рунге-Кутта и метод Адамса.