Теория колебаний

х" + f{x,x') = F{t). (7.5) С математической точки зрения анализ вынужденных колебаний означает отыскание решения неоднородного дифференциального уравнения. Решение нелинейного уравнения (7.5) в обш,ем виде неизвестно, поэтому обычно рассматривают частные случаи. (В следуюш,их лекциях рассмотрим задачу Дуффинга). Для анализа линейных систем (7.1) суш,ествует ряд мотттных методов: метод вариаций постоянной Лагранжа, метод Лапласа, метод Фурье и другие. Применение того или иного метода определяется в основном видом функции Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что обш,ее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) можно представить в виде: i(/)= io(/)+ i^/), (7.6) где х„(/)- решение однородного уравнения (2.7); хД/) представляет собственные колебания системы, которые подробно изучались выше. x^{t)- частные решения неоднородного уравнения, которое описывает вынужденные колебания. Найти и проанализировать его - наша задача. Важно помнить, что четкое разделение собственных и вынужденных колебаний возможно только в линейных системах. По суш,еству - это следствие выполнения принципа суперпозиции в линейных системах. Напомним содержание этого принципа применительно к уравнению (7.1). Если Xi(/)- частное решение при = а хД/)- частное решение при F[t) = F^[t), то при F(t) = a,F,(t) + a,F,(t), (7.7) где а^,а2- постоянные коэффициенты, частным решением уравнения будет х(/)= «jX, (/) + (/). (7.8) 96