Теория колебаний

в качестве второго примера у использования методологии Ляпунова рассмотрим вопрос о своеобразной неустойчивости равновесия в области ® X2I а X застоя для системы с кулоновским трением (Рис.44). Исследование проведем на Рис. 44 фазовой плоскости. Если отклонение | J C Q|<<2, ТО движение отсутствует, система находится в состоянии равновесия. Следует идее Ляпунова, дадим возмущение. Для простоты и наглядности рассуждений будет считать, что возмущению подвергается лишь скорость, причем величина возмущения будет одинакова во всех случаях, а знак скорости меняется от опыта к опыту. Рассмотрим движение изображающей точки, если есть одно положительное и одно отрицательное возмущение скорости. Пусть из состояния равновесия (jCjQ,0) система переводится в состояние (jCjq,<^)), откуда со временем переходит в новое состояние равновесия (jC2o,0). Состояние равновесия (л:^о,0) обладает своеобразной «неустойчивостью» - система, выведенная из него, обратно в него же не возвращается. То же самое можно сказать и о состоянии (jC2o,0). Если система получит возмущение по скорости (в этом опыте отрицательное), то она переходит в новое состояние равновесия (jC2o,0). Интересно отметить следующее; после двух разных по знаку возмущений по скорости изображающая точка приблизилась к середине области застоя - началу координат. Приближение к началу координат можно исследовать аналитически, доказав неравенство В верхней полуплоскости изображающая точка движется по эллипсу (5.40) (^20 •^1о)^(-^20 -^30 (6.65) 92