Теория колебаний

уравнения возмущенной системы становятся нелинейными и трудности анализа резко возрастают. Значение теорем Ляпунова для практики огромно. Еще до проведения эксперимента можно найти и проанализировать устойчивые стационарные состояния нелинейной системы, которые будут осуществляться в действительности. Проиллюстрируем второй метод Ляпунова на примере исследования устойчивости маятника с затуханием. Динамическое уравнение системы при любых углах отклонения имеет вид: ф' + 2дф + sin^ = О, (6.48) где S>0 Приведем уравнение (6.48) к стандартной форме. Пусть (р = х^ Ф = ^1 Тогда (6.49) dt Уравнение (6.48) преобразуется к виду dx^ djc (р" = — - = -2Sx2-(DQsinx^. (6.50) dt dXr X2 (6.51) dt Из (6.51) найдем состояние равновесия О = JC ®o^sinjCj -2Sx 2 ^20 О = - cD Q s i n J C jq - 2S x 2Q (6.52) Отсюда JC20 =0, a из sinx^ =0 получим, что =пл:, где « = О, ±1, ±2, ... . Физический смысл имеют два положения равновесия: 1. jCjQ = 0,jC2o = О, - маятник в нижнем положении, 2. jCjQ = 7 г ,Х2о = О - маятник в верхнем положении. 89