Теория колебаний

^^1 г г г 7 ~ + ^12'з2 at d'^2 a t : £ • — - = a..L-\-а^.с^л-...Л < dt ' " . (6.47) ^ = «^«1^1 + «^«2^2 +•• + CCnnL- ^ at Легко увидеть, что система первого приближения (6.47) ничем не отличается от линейной системы (6.23), устойчивость которой исследована выше. Ляпунову принадлежат три фундаментальных теоремы об устойчивости равновесия нелинейной системы. Сформулируем их без доказательств. 1. Теорема об устойчивости по первому приближению Если все корни характеристического уравнения системы первого приближения (6.47) имеют отрицательные вещественные части, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы (6.41) асимптотически устойчиво. Другими словами, из асимптотической системы первого приближения следует асимптотическая устойчивость исходной системы. 2. Теорема о неустойчивости по первому приближению Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения (6.47) встречается хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то состояние равновесия нелинейной системы неустойчиво. 3. Теорема об особенных случаях Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения (6.47) встречается хотя бы один корень с нулевой вещественной частью, то невозможно сделать заключение об устойчивости или неустойчивости равновесия нелинейной системы. Чтобы решить вопрос об устойчивости в особенных случаях, необходимо учитывать, по крайней мере, второе приближение в уравнениях (6.46). Однако 88