Теория колебаний

постоянных aj^{m = \2,....,n)aj^ (т = 1, 2, ... , п) независимы и определяются начальными условиями. Остальные постоянные связаны между собой уравнениями (6.29). Из общего решения (6.32) видно, что поведение координат со временем определяется экспонентами . В общем случае корни комплексные Л„ = ^™+7®™.где т = \,2,-;П. (6.33) Если хотя бы одно значение дт > О, соответствующая экспонента стремится к бесконечности, следовательно (О ^ при ? ^ оо; система уходит от положения равновесия. Состояние равновесия неустойчиво. Если все вещественные части корней отрицательны ((5^ < Q, т = , и), то в этом случае {t! 0) при ? ^ 00, т.е. система стремится перейти в положение равновесия. Состояние равновесия абсолютно устойчиво. Если вещественные части хотя бы у одной пары комплексно-сопряженных корней равны нулю, а остальные дт < О, то частным решением системы (6.12) будет гармоническое колебание. Система будет совершать движение около положения равновесия, не достигая его. Состояние равновесия устойчиво по Ляпунову. В результате анализа можно сделать вывод: для того, чтобы оценить устойчивость равновесия линейной системы, не обязательно знать корни характеристического уравнения (6.16); достаточно иметь сведения о знаках вещественных частей корней. Для этой цели служит критерий Рауса-Гурвица. Он устанавливает необходимые и достаточные условия того, чтобы реальные части всех корней характеристического уравнения были отрицательными. В этом случае состояние равновесия системы абсолютно устойчиво. Пусть характеристическое уравнение имеет вид: + С,Л"-' +QA"-' +.... +С„_,Л+С„=0. (6.3 83