Теория колебаний

Подставим (6.27) в (6.23) =а^^а^е'" +а^^а^е"' + .... + a^/i^e' Xarf^^ = +....+ a2 „a^e^* (6.28) = ам^е^' +ам^е^' +.... + аае п П1 1 п1 1 пп п Xt сократим на е и соберем коэффициенты при одинаковых : {^ССц — X^Cl^ ^12^2 ^Irfln ~ ^ ^21^2 (^^22 ~ +•• + (^2п^п ~ ^ (6.29) а„,а2 + «„2^2 + •••• + = О Получили систему однородных уравнений относительно а,^, к = 1, ... , п. Чтобы хотя бы одно из них было отлично от нуля, нужно чтобы детерминант (6.14) был равен нулю: — Л (2] а 21 12 ^2 ~ а \п а 2п С(„1 СС„2 ••• С1С„„ л 0 . (6.30) Если раскрыть этот детерминант, собрать коэффициенты при одинаковых степенях Я, то получим алгебраическое уравнение относительно Я (характеристическое уравнение): Л" + С,Л"-' + С^Л"-^ +.... + С„_,Л + Q = о, (6.3 где Q,C2,....,Q - постоянные, зависящие от Характеристическое уравнение (6.31) в общем случае имеет п корней, так как уравнение и-ого порядка; ,Л^. Общее решение для любой координаты есть суперпозиция частных: = • (6.32) 82