Теория колебаний

Хорошо известен геометрический смысл ^dy У производной — Это тангенс угла наклона dx касательной к кривой у{х). Таким образом, по уравнению (3.8), всегда можно найти тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой, проходящей через заданную точку { х , у У в методе изоклин фиксируют угол наклона касательной (Рис. 12) Ф , — = t^a = к = const. dx Из (3.8) получаем уравнение изоклины в неявной форме Р{х,у) Рис. 12 (3.9) к = Q{x,y) (3.10) Изоклина представляет собой геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одинаковый угол наклона. Уравнение для изоклины (3.10) является алгебраическим и с математической точки зрения более простым, чем дифференциальной (3.8). В простейших случаях удается найти выражение для изоклины в явной форме; у = у{х,к). (3.11) Если обратиться к уравнению (3.9), тот оно имеет решение у = кх. Представляя его в (3.10), необходимо проверить не обратится ли оно в тождество при некоторых к^. Если это имеет место, то соответствуюш,ая изоклина является и интегральной кривой уравнения (3.8). Задавая разные углы наклона а , будем получать соответствуюш,ие изоклины. Черточки на изоклинах указывают направление касательных. Имея график семейства изоклин, можно построить приближенную интегральную кривую, т.е. получить приближенное решение уравнения (3.8) в графической форме. 33