Курс вариационного исчисления

— 9 6 — I ват'Ьмъ определить постоянное X такъ, чтобы удовлетворя­ лось ypaBHeiiie S^ = а. Это правило можно оправдать еще ел'Ьдующими простыми разсужден1ями. Если выразкен1е S IS, =\ ^V-{-'XU]da; (1) -'ж, есть maxinram, то это значитъ, что оно больше смежнаго съ нимт. значен1я, а смежное значен1е этого выражен1я получится прп безконечно маломъ изм' £ нети функщи у . Обозначимъ чрезъ U' -в У смежныя зна5ен1л функц1и U и F , 110лучивш1яся посл'Ь вархированхя тогда смежное значея1е разсиатриваеыаго нами выражен1н будетъ; а потому въ елуча-Ь maximiiiu'a pSk f^X% с Г + Х г 7 ) с г ж > ( Г + A Z 7 ' ) (а) ••'ж, но п о у еловш разсматриваемой нами задачи должно быть и dx = \ и dx ж, Х\ и сл'ЬдовательЕО наше неравенство обращается въ сл'Ьдующее; Гжа .Xi J V dx > \ V dx, (Ь) ж, -^х, "I а это показываетг, что интегралъ ^2 Жо Г dx (2) Xi есть maximum, т. е. если интегралъ (1) есть maximum, то и ин тегралъ (2) будетъ maximnm. Очевидно, что обратное заЕлюченхе будетъ справедливо; лЖа г.Жз изъ того, что\ Fcfe есть maximum, слфдуетъ, что \ (F-|-)^Z7)d'ж •^X-i ""Xi будетъ тоже maximum. Д'Ьйствителъно, если удовлетворяется не­ равенство (Ь), которое выражаетъ ycлoвie raaximum'a для нн-