Курс вариационного исчисления

— 94 — даетъ этому интегралу опред'Ьлепную величину а. Зд'Ьст. TJ есть также н'Ько'горая функц1я 9 ?/, У', У", . .J. Понятно отлич1е этого вопроса отъ разсяотр'Ьннаго прежде; зд'1)Сь не будетъ вполн'Ь произвольною безконечно малою функ- д1е10 ж, ибо 3Ha4eHic у, которое получится иосл'Ь варьирован1я, то есть у-\-^у^ также какъ п первоначальное, должны удовле­ творять данному уравнен1ю: ~ cfc • llpHM'JipOM'b такого рода яал,ачъ могутъ служить Bci задачи об'Ь язопериметрахъ и въ частности следующая, простейшая изъ нихъ: найти кривую, которая п р и данной длпн'Ь ограничнвала-бы наибольшую площадь. Задача э т а состоитъ мъ 0T%ncKaHin такоЛ функц1и у, которая д'Ьлала-бы n i ax imum олъ BhipajKCHie 1глол1,ади кривой, т. е; I • S V y.dx, "J подъ услО]пемъ, чтобы длина крпиой , т . е. 'S'i= 'Ж, сохраняла-бы постоянную величину. Вернемся къ об1цему вопросу. Оиъ состонтъ, какъ мы уже сказали, въ сл'Ьдующемъ: требуется найти фу в кцйо у , делающую, интегралъ f ^2 S = i Y.dx maximum 'oMb или т п пюп т ' о м ъ и удовлетворшощую уравнен1ю Я., == а, гд4 )S^i = \ Шх ^Х\ Обозиачниъ черезъ X пеопред'ЬленЕОе постоянтп; п составиыъ виражепзо: S IK {S\ — а ) . которое мы сначала будем'Ь разсматринать неяависпмо отъ по- ставленнаго вопроса. Будемъ искать видъ фунши у, д'Ь.тающей это выра.же1Йе наибольтпимг или наименьшимъ. Такъ какъ — \ а им'Ьетъ величину постоянную, то очевидно, что 'J'a функд1я г/,