Курс вариационного исчисления

— 92 - параллельнаго касательной плоскости. Такимъ образомъ мы ви- димъ, что постоянное будетъ тгЬть одпу и ту же величину во всбхъ точкахъ ломаной геодезической лиши UPV , что, сле­ довательно, оно имЬетъ въ точк4 Р одно aHa4eHie для днухъ геодезическихъ лиши PU и PV, н, такъ какъ длина перпенди­ куляра р въ точк'Ь Р им-Ьетг одну определенную величину, т о два рад1уса вектора, проведенные нзъ центра эллипсоида па­ раллельно касательнымъ (3) п (4) къ геодезическимъ кривымъ PU ъ Р F, должны быть равны. Эти два paAiyca вектора при- надлежатъ д1аметральиому с4чешю, параллельному касательной плоскости въ ТОЧК'Ь Р\ изъ равенства вхъ з'аключаемъ, что оба они д'Ьлаютъ равные углы съ каждой нзъ осей этого д1аметраль- наго c'Ij4eHiH. Съ другой стороны, какъ это известно изъ Teopin лип1й кри­ визны, оси дiaмeтpaльиaгo с'Ьчен1я, зам'Ьня10ш;аг0 у11,азате.!1ьпнцу, будутъ соответственно параллельны касательнымъ лип1ямъ (1) и (2) КЪ ДВуМЪ ЛИШЯМЪ кривизны, ПрОХОДЯЩИМЪ Чре.ЧЪ точку Р I перес'Ькающиыся ортогонально въ этой точкЬ; сл'Ьдонательно, дв'Ь касательныл (3) и (43'къ геодезическимъ крнвыыъ PU и PV д'Ьлаютъ в ъ точк'Ъ Р равные углы съ касательными (1) и (2) КЪ л и т я мъ кривизны. Изъ всего этого ааключаемъ, на осповашп общпхъ теоремъ о геодезическихъ кривыхъ, доказанныхъ выше, что 1) для всЬхъ точекъ л и н к кривизны, проходящей чрезъ точку Р и им'БЮщей въ этой T04K'Ji касательную прямую, озна­ ченную на чертеж'Ь цифрою (1), сум-ма геодезическихъ рад1усовъ векторовъ Р ZJ-j-PF будетъ пм^ть величину постоянную, и что 2) для вс^хъ точекъ ортогональной лин1и кривизны, проходящей чрезъ точку Р , им'Ьющей касательного прямую (2), разность гео­ дезическихъ рад1усовъ векторовъ PU —PV будетъ пм^ть* ^вели- чину также постоянную. • Такимъ образомъ, на оснолаши теоремъ Робертса, дв'Ь си­ стемы лин1й кривизны на эллипсоид'Ь могутъ быть разсматрпвае- мы, какъ дв'Ь системы особаго рода гомофокальпыхъ „геодези­ ческихъ эллипсовъ и гинерболъ"-, п р и ч емг роль фокусовъ вы- полняютъ точки окру г летя этой поверхности. Въ приведенномъ выше доказательств'!? теоремы Робертса мы брали ДВ'Ь точки округлеп1я TJ ж V не противоположныя. Пусть теперь V есть точка округлешя дiaмeтpaльяo противопо­ ложная и . Если ироведемъ отъ Р къ IT геодезическ1й ра - дiycъ ветгторъ PU', то вм'ЬстЬ съ геодезическимъ paAiycOMb векторомъ PV онъ долженъ образовать равные углы съ двумя лин1ями кривизны, проходящими 'чрезъ- точку Р (на основан1и той-же Теоремы). Отсюда заключаемъ, что геодеаическал ли- шя Р ? 7 расположится, какъ показано на чертеж'Ь, такъ, что