Курс вариационного исчисления

— 91 — ности. Рад1усъ кривизны произвольнаго нормальнаго cbqeniji по­ верхности будетъ прямо иро11орц1оналенъ квадрату pajuyca век­ тора (д1аметральнаго cbieaiH), проведеннаго параллельно каса­ тельной лишп к'Ь разсматриваемоиу нормальному с'Ъчен1ю. (См. Teopiio кривизны поверхности въ данной точк'Ь въ курсЬ диф- ферендхальпаго исч;нслен1я). На оснопан1й всего лриведенааго выше мы заключаемъ во первыхъ, что: „Постоянное рг им4етъ одну и туже величину въ ' гоче 4 „окрурлен1я для всЬхъ геодезическихъ кривыхъ чрезъ эту точку „ттроводимыхъ". Действительно, такъ какъ р им-беть для данной точки одну определенную величину, а рад1ус'Ь векторъ г , проведенный па­ раллельно касательной либ1п къ кривой, проходящей чрезъ точ­ ку окрурле1ия, есть рад1/съ д1аметральнаго круговаго сЬчешя, то онъ раненъ средпей полуоси Ъ для вс4хъ цаиравлен1й касатель- ныхъ, ел'Ьд. и проч. Докажемъ теперь сл'Ьдующую теорему Робертса. „Геометрическое M'J jcto точекъ поверхности эллипсоида, для „которыхъ сумма геодезичеекихъ разетояшй отъ двухъ не аро- „тивуположныхъ точекъ округлен1я постоянна, есть л и и я кри- „визны поверхности, а геометрическое м16сто точекъ, для кото- „рыхъ разность геодезическихъ разстоян1й отъ т^хъ-же точекъ „округлен1я постоянна, есть другая лин1а кривизны, ортогональная „съ первою"-. Пусть и я V дв'Ь точки округлен1я, не находящ1яся на одномъ и томъ-же д1аметрЬ, и пусть Р есть произвольная точка некоторой' лин1п кри­ визны; проведемъ два геоде- V зичесме рад1уса вектора F U (f) и P F . Постоянное j j r им^зетъ одну и ту-же величину во псЬхъ точкахъ геодезической кривой РСТ" и следовательно въ точк'Ь Р оно иы'Ьетъ туже величину, какъ и въ точк'Ь округлен1я U] подобно этому, произведе- Hie 21Г им'Ьетъ для всЬхъ точекъ геодезической кривой P F , а сл^довательдо и въ точк'Ь Р зтой лиши, ту-же величину, какую оно иы'Ьетъ въ ТОЧК'Ь округлен'»! V. Но въ двухъ точкахъ округ- глешя и п V произведете рг иыЬетъ одно зпачеше, потому что, всл'Ьдств1е симметрш распологкешя, касательныя плоскости В'Ь этихъ точкахъ будутъ находиться на одинаковыхъ разстоя- н1яхъ отъ центра и для об4ихъ точекъ рад]усъ векторъ г бу­ детъ равенъ Ъ, т. е. радхусу круговаго дхаметральнаго с'Ьчен1я, (4)