Курс вариационного исчисления

— 86 — цоэтому можемъ написать ед1,е: 1 Лх J _ d y ,^У \ 1 • rfs •' f/s 1"^ ' ds'^ ^ ' й^' йГ' Ж «1= ' 1 r & y 1 f /cfeVM / j F - W J + i » ^ ' W j + г г '( d i )J-'''• Положимъ е д е для краткости: \ds J ' \ds ) ^ c? \ds ) ' тогда будеиъ им^ть; dv 1 ds ' 2 V ' Сра.виивая два выраже.[пя 7 й , , о д н о въ функи,1н и и другое в ъ функщп V, находим'Ь ypamieaier du (fv и V ' которое интегрируется иеиосредстненно и даетъ: l{uv)== и пли UV = с = const. Это равенство есть, собствеино говоря, первый интегралъ уравнен1я геодезической лин1и. Действительно , первоначальное дифференц1алы1ое ypauuenie э т о й кривой всегда 2-го порядка; последнее-же уравнеи1е, если в ъ п е г о вставнмъ данныя выше Быраженая и м v, будетъ, очевидно , дифференщальнымъ урав- неи1ем;ъ 1-го порядка, при томъ-же оно будетъ содержать одно произвольное цсстоянное с-, сд'Ьдоватедьно оно представляетъ первый йптеградъ. Разсмотримъ, к а к о е геометрическое вначейе им'Ьетъ этотъ интегралъ. Пусть р означаете длину пе рпендикуляра , опущеннаго нзъ центра элдиисоида на касательную илоскоств къ этой поверхно­ сти въ точкй (ж, ^). Уравнеыхе этой плоскости, какъ извФстт но, будетъ; или, НО упрош,ен1и, Хх , 5V , — 1 ^2.-1- Ь2--1- и следовательно, по изв'Ьстной формухЛ5 аналитической гео- метр1и, определяющей разстояше отъ начала коордииатъ до