Курс вариационного исчисления

— 81 — надобности приводить, его въ подробности. Такнмъ образомъ мы получижъ сл'Ьду1ощ1я два предложен1я. „На поверхности даны дв4 неподвнжныя точки и некоторая „кривая лин1я. вЕсли уголъ, образуе^шй двумя геодезическими рад1усами век- „торами, проведенными изъ двухъ неподвижныхъ точекъ въ произ- „вольную точку кривой, делится этой кривой пополамъ,то раз- „ность двухъ геодезическихъ радгусовъ векторовъ постоянна для „вс^хт. точекъ кривой, н обратно"-. Выберемъ на данной поверхности дв']Ь неподвижныя точки А и В. Проийволънухо точку Ж на поверхности соединимъ съ А и В геодезическими лин1ями AM и ВЖ и пусть ^Ж+ВЖ=2 [ л и АЖ~ЪМ=.Ъ. Тогда точка М иожетъ быть разсжатрнваема, какъ лежащая на перес'Ьчевхк двухъ кривыхъ литй , выражаемыхъ уравнен1ями const, и v=const. Эти дв11 кривыя, которня могли-бы быть названы „геодези­ ческими эллипсами и гиперболами", будутъ иересЬкатьея орто­ гонально въ точх'Ь Ж; это слЬдуетъ изъ того, что первая кри­ вая Qx) д'Ьлптъ пополамъ уголъ между геодевическимъ рад1усомъ векторомъ 23Жи продолжетемъ геодеаическаго рад1уса АЖ, тогда какъ "вторая кривая (v) Д'Ьлитъ пополамъ уголъ ^1ЖВ. Величины р. н V суть параметры этихъ лин1й. Черезъ измфнете этихъ па- раметропъ получаются на поверхности дв^ системы ортогонадь- ныхъ кривыхъ, которыя Д'Ьлятъ поверхность иа безконечно ша­ лые прямоугольники. Положеше точки Жн а поверхности будетъ онред'Ьлемо, когда даны величины двухъ параметровъ [л и v, ей соотй'Ьтствующихъ, или, все равно, даны дв^Ь кривыя ((j.) и (v), черезъ эту точку проходяпця. Такимъ образомъ величины р. и v могутъ быть разсматриваеиы, какъ „криволииейпыя координаты" точки М на данной иоверхности. Обратимся теперь къ разсмотр'Ьн1ю свойствъ геодезической лии1и н а и']зкоторыхъ. частныхъ видахъ поверхностей и, во пер- выхъ, яам'Ьтимъ следующее свойство геодезической лин1и на по­ верхности враш;ен1я. Пусть ось ^ есть ось вращешя; уравнен1е поверхности при этомъ будетъ им'Ьть видъ: Следовательно, нд'Ьсь и потому f -=2!/.r: ? = - ! . dx dy ds 6