Курс вариационного исчисления

— 80 ~ Отсюда сл§дуетъ, что АЖ—АМ==.ВМ—ВМ\ Отдожчмъ на AM'длину ANr=AM, на В Ш Ш'=,F>Ж I проиедемъ и Ж'^У. Такъ какъ очевидно, что i r S — M W , то два безкопечао-малые треугольника ЪШ'Ж п МММ', которые на ог.но1!ав1и вышедоказавной теоремы Гаусса прямоугольны въ 1Я н будутъ равны п следовательно уг. ЖЖ'^.=углу М'МВ. Воображая, что точка М', приближаясь неоиред'Ьленно къ Ж, совиадает'ь съ нею въ пред4л' £ . нолучимъ следующую теорему^ „Если кривая лшпя, проведенная на поверхностн, им'Ьетъ „такое свойство, что сумма 1'еодезичесЕ,кхъ разстояйй произволь- „ной ол точки отъ двукъ данныхъ неподвижныхъ точекъ по- „стояциа, то два геодезичесые рад1уса вектора, проведенные изъ „неиодвижныхъ точекъ къ точк'Ь. взятой на этой крпвоГг, д'Ьла- „ютъ съ нею равшло углы но об'Ь стороны отъ разсматриваемоп „точки". Легко убедиться иъ существовап1н обратной теоремы. Д'Ьй- ствптельно, еслн кривая пм^Ьетъ свой-стио, по которому два угла, образуеиые съ нею геодсзпчестсимн лнн1ям11 AM н ВШ. равны, то будемъ им'Ьть, пренебрегая к.о.тичествамп безкоиечно-малыми, что уголъ ЖЖ'Л—углу Ж'МВ\ проведя зат^мъ MN и ЖЕ' ор­ тогонально къ AM' и 1?Ж, будеага цм'Ьть снять два равяыхъ прямоугольныхъ треугольника М К Ж и ЖЖЛГ, откуда заклю- чимъ, что ITN=MN'. Но на основан1и доказанной выше тео­ ремы Гаусса (обратной) геодезичесюя разстоян1л АЖ н AN равны, также какъ ВЪГ и 1Ш, и следовательно АШ—АЖ-^ВМ-ВЪГ, или АЖ-\-ВЖ^АЖ-\-ВМ. Отсюда теорема, обратная предгидущей, а именно: „Если кривая лин1я, расположенная па поверхностн, им'Ьетъ „такое свойство, что два г еоде зиче сте рад1уса вектора, нрове- „денные изъ двухъ неиодвижныхъ точекъ въ нроизвольную точку, „на кривой взятую, образуютъ с ъ нею равные углы по обе сто- вроны отъ разсматриваемой точки, то сумма этихъ двухъ геоде- „вическихъ рад1усоЕъ векторовъ будетъ постоянна для всЬхъ „точекъ крииой. Дв'Ь носледн1я теоремы будутъ также справедливы, если вме­ сто суммы геодезическихъ рад1усовъ векторовъ мы будемъ раз- сматривать пхъ разность, а к р и в ую будемъ проводить на поверх­ ности такъ, чтобы она д'Ьлнла пополамъ уголъ ЛМВ, образуе­ мый двумя геодезическими лпн1ями AM и ВШ. Доказательство теоремъ будетъ совершенно сходно съ вышеизложенным:ъ и н'^тъ