Курс вариационного исчисления

— 79 — „Есла пзъ точки, данной на поверхности, во вс-Ь стороны бу- „детъ проведено безчисленное множество геодезическихъ лпшй „одинаковой длины, то кривая литл , соединяющая ихъ оконеч- „ности, будетъ пересекать ихг подъ прямыми углами. Эта крп- „вая лин1я называется геодезическимъ кругомъ." Справедливость этого предложетя уясняется подобно предъ- идущему аам'Ьчая1ем:ъ, что еслибы въ посл^днемъ pascMOTpbHia вместо данной кривой было взлто геометрическое м'Ьсто око­ нечностей геодезическихъ л и т й одинаковой длины, проведен- ныхъ на поверхности изъ дайной точки по всевозможнымъ на- праЕлен1ямъ, то всЬ KpaT4atraiH лин1и, проводииыя отъ данной точки до разсматриваеиаго геометрическаго и'Ьста, должны были бы персЬчъ его ортогонально, следовательно и пр. Теоремы обратныя двуиъ пос-йднииг, очевидно, также бу- дутъ справедливы; такъ: „Кривая, перес'Ькающая ортогонально „геодезическ1я кривыя, пвовсденныя изъ „вс'Ьхъ точекъ другой данной кривой по „нормальнымъ направлетялъ къ этой „последней, отс'Ькаетъ навсЬхъ геодези- вЧескихъ лишяхъ одинаковыя длины.'' Подобно этому выразится теореиа обрат­ ная второй изъ двухъ предъидущихъ. Посд'Ьдшя теоремы обнаружнваютъ та- ы я свойства геодезаческнхъ л и т й на произвольной поверхности, которыя имЬ- ютъ полную ападопю съ ивв1?стными свойствами прямыхъ дин1й, проводимыхъ на плоскости. Всд'Ьдств1е этого и т']Ьиъ теоремамъ, которыя вытекаготъ ивЧ) этихъ свойствъ прямыхъ л и т й для плос- кихъ крпвыхъ, будутъ соответствовать аиалогичныя предложешя для кривыхъ, лежащихъ на произвольной поверхности, вытека. 1ощ1я изъ прпие.денныхъ выше свойствъ геодезическихъ лин1й. Для примера ыы приведемъ зд'Ьсь нижесл4ду10ш;1я предложешя. Пусть А VL В дв'Ь неподвижныя точки на данной поверхности; ММ.' есть элементъ кривой, расположен­ ной на той же поверхности и имею­ щей свойство, по которому суима геодезаческнхъ л и т й , соединяю- щихъ произвольную ея точку съ двумя неподвижными точкамиА ш В , постоянна, такъ что ХЖ"+БЖ=ХЖ'+ВЖ'=2р . .