Курс вариационного исчисления

— 78 — и приравнивал затЬиг нулю о т д е л ь н о коэффнц1энты при произ- вольныхъ безконечно-иалыхъ dx^ н мы получнмъ два пр е - д'Ьльныхъ условия, изъ которыхъ п е р в о е будетъ: V 1 I tj\' „ ' i - t - | / i - ул или, по уирощеши; 1 + у ; f ф'{х{) = 0. иодобио этому второе п р е д е л ь н о е уцловте аодучится въ видЬ; 1 + Ih' + г.а' = 0. Эти два равенства выражаютъ , каждое отд'Ьльно, услов1е перпендикулярности двухъ п р ямых ъ лнн i й : касательной къ гео­ дезической кривой въ предельной точк'Ь и касательной к ъ пре­ дельной кривой. И такъ, искомая геодезическая диб1я буде тъ вормальнц къ об'Ьииъ пред'Ьльнымъ к р и выи ъ . Отсюда сл4дств1е: „Если изъ вс^хъ точекъ п р ои з в о л ь н ой кривой лнши, данной „ва поверхности, по нормальнымъ к ъ н е й направлен1ямъ будутъ „проведены геодезичесгая лин1и одинаковой джины, то кривая „лнн1я, соединяющая ихъ окон е ч но с т и , будетъ пересЬкать всЬ „геодеаичесшя лиши подъ п р я мыми углами."- *•) Для уяснен1я справедливости э т о й теоремы достаточно заме­ тить, что еслибы въ предвдествовавпгемъ равсмотр^нш вм'Ьсто второй предельной кривой мы в з я л и геометрическое м^сто око­ нечностей геодезическнхъ лишй о д и н а к о в о й длины, проведенныхъ изъ всехъ точекъ первой п р е д е л ь н о й кривой по нормальнымъ къ ней направлен1ямъ, то геодезическ1я линш, проводимыя о т ъ первой кривой до второй, должны был и бы, по доказанному, пере­ секать вторую кривую подъ п р ямыми углами, следовательно и проч . Еслибы мы искали провести г еод е з ич е скую дин1ю отъ данной точки (ж^, 2/,, 0^) доданной кривой , расположенной на поверхности ср=0, то, положивъ по прежнему, ч т о уравнешя этой кривой представлены въ виде: и зам'Ьчая, что для настоящаго с л у ч а я йж^==0, {8y\ —Q и (Ssi).|=0, ми получили бы одно предельное усдов1е: 1 (®2)=0, изъ котораго усмотрели бы, * ч т о искомая геодезическая лин1я должна пересекать данную пред']Ьльную кривую подъ прямымъ уыомъ . Отсюда теорема (Gauss, Di s qu i s i t i one s etc.): *) Gauss-Disquiaitiones generales circa saperficies curvaa.