Курс вариационного исчисления

Переходя затймъ къ pimeHiio задачи о 6paxHCTOxpoHi, зам4- тимъ, что точка должна проходить пе только всю дугу АВ, но и каждый эдемеятъ этой кривой въ наименьшее время. Возьмемъ оси координатъ какъ по- 0 казано на чертеж^; пусть Ж и Ж ' будутъ дв^ без- конечно бдизюя точки брахистохроны, а МО ТА Щ'О двЬ смежныя нор- X Мали; тогда должно быть по доказанному MG=OG; ноМО есть величина нор­ мали JV,а0Жрад1усъ кри­ визны р. Поэтому брахис­ тохрона есть кривая, об­ ладающая тЬмъ свойст- вомъ, НТО р=2Ж, а та­ кая кривая, какъ намъ изп'Ьетио изъ интегральнаго исчислетя, есть циклоида, им^Ьющая точку возврата въ Л , причемъ основате ея находится на А х . Приведемъ постановку той же задачи съ общеупотребительными въ анализ'Ь обозначешями.- Скорость всякаго движен1я v ~ dt ds откуда dt = — . Время-же, в ъ которое точка пройдетъ изъ од­ ного ноложешя въ другое, выразится сл^дующимъ образомъ: Г г = \ — , принемъ интегралъ долженъ быть взятъ между со­ ответствующими пределами. Для падающей тяжелой точки dy V = у2ду, притомъ ds = y\-\-p^,dx^ гд4 р поэтому; t — Г _ Е У ^ . dx. J \/1ду !Это выражеше должно быть наименьшимъ. Понятно, нто для HaxoHtftenia этого минимума мы не можемъ приложить изв'Ьстиаго намъ способа. Действительно мы прежде всего должны были- бы произвести интегрирован1е, но оио въ настоящемъ случай невыполнимо, такъ какъ мы не знаемъ у ъ р wb функцш ж. BapianioHHoe исчислен1е дастъ намъ способъ для опред'Ьлеи1я того вида, или той формы, которую нужно дать неизвестной функцш у въ посл'Ьдиемъ выражен1й для того, чтобы оно по­ лучило наименьшее значен1е,