Курс вариационного исчисления

_ 8 - движущейся по прямой п начавшей свое движен1е одновремен­ но съ яервою точкою. Очевидно, что то-же может!» быть и во все время движен1я, и тогда точка, движущаяся по кривой, дой- детъ до jB скор'Ье точки, перемещающейся по прямой АЪ. Бернулли еще до напечата]н1я задачи сообщилъ ее въ пись- N"6 Лейбницу, который р'Ьшилъ ее тотчасъ-же по получеБ1и письма. Тогда они вдвоемъ условились предложить ее для р'1ше1Пя вс1шъ геометрамъ, давши одинъ годъ времени для состязатя. Ещ е до истечен{я установленнаго срока, было предложено три р'Ьшешя: одно принадлежало Якову Бернулли, брату Ивана Бернулли, за- Н1}мавшему должность профессора въ Базел'Ь, другое маркизу 1опитадю, а третье появилось въ Изв'Ьспяхъ Лондонскаго Ко- ролевскаго общества (Philosophical Transactions) безъ имени ав­ тора. Жванъ Бернулли, разсмотр'Ьвъ р4шен1я, тотчасъ узналъ безъименпаго автора по его львинымъ когтямъ, какъ онъ вы­ разился (tanquam ex ungue leonem), P t o e n i e это припадлелсало Ньютону. По прошеств1и года Жванъ Бернулли иапе'?1аталъ и свое р'Ьшеше. Оно отличалось синтетическимъ характеромъ и основывалось яа р4шен1и следующей задачи. Въ вертикальной плоскости дается безконечно малый уголъ 0 , стороны котораго пересекаются горизонтальной п]ря- мой АВ. Требуется опред'Ллнть, въ какой точк'Ь тяжелая точка Ж дол­ жна войти въ э'готъ уголъ, чтобы пройти черезъ него въ наименьшее время, причемъ скорость точки въ Ш соотв'Ьтствуетъ высот'Ь паде- шя , равной ра8стоян1ю отъ АВ, то есть она равна \/%д.Ш R Пусть 0G =Z, МО = ж , MP ~ у, 1_ мер =z а . Тогда скорость точ­ ки Ж будетъ V = уЧду, агсММ =• (ж+г) ©, а время, въ ко­ торое точка Ж пройдетъ безконечно малый элемеитъ ЖЖ', выра­ зится такъ: ^ (ж~|—Z)0 l / ^ ' ибо движен1е по элементу должно быть принимаемо равиом'Ьр- нымъ; ЕО у = X. згшп потому: ^ © X -|-Z \/2gsinot. ' Положивъ для отъискан{я минимума О, найдемъ, что время t будетъ наименьшим'ь при х ~ I.