Курс вариационного исчисления

Въ 1687 году появилось безсмертное твореще йсаака Ньютона „Математичесшя начала естественно!! философ1и'', содержавшее въ себ'Ь между прочимъ и оспован1я новаго математическаго учешя, получившаго впосл'Ьдствш наииеноваше дифференд1альнаго и ин- тегральнаго исчислен1я. Въ книгЬ Ньютона была помещена следую­ щая задача: найти кривую линно, которая при вращеши около оси образовала-бы т'Ьло, испытывающее при движеши въ жидкости по иаправлешю оси наименьшее сопротивлеше, при чемъ сопротявле- Hie жидкости принимается пропорщональнымъ квадрату скорости. Ньютонъ рФшилъ эту задачу, давъ дифферендтальное уравпеп1е кри­ вой, которое служитъ для ея построешя, но при этомъ н е указадъ способа, иоторымъ онъ дошелъ до дифференщадьнаго уравнешя. Задача Ньютона была первою задачею о миниыугЬ особаго ро­ да: въ neft требовалось определить, какой видъ нужно дать не­ известной фуикд{и, для того чтобы н'Ькоторое Bupaaienie, ее содержащее (иптегралъ, выралшюицй величину сопротивле1пя), получило наименьшее значен{е. Задача эта была р'Ьшена впо- сл'Ьдств{и Ивапомъ Бе'рпулли (въ 1701 году). Въ 1696 г. Иваиъ Бернулли иредложилъ въ Лейпцнгскихъ актахъ на p'biJienie математиковъ задачу о брахистохроне *), или А кривой наискорейшаго ската. За- Задача эта была известна и до Ивана Бернулли; такъ о ней равиышлялъ еще Галилей, который ошибочно считалъ брахисто­ хроною дугу круга; друг1е полагали, что брахистохрона есть пря­ мая лип1я, что съ перваго взгляда казалось довольно правдоио- добнымъ. Бпрочемъ достаточно сделать одно простое з а гЬчат е , чтобы посолить coMHinie въ тоиъ, что брахистохрона есть не­ пременно прямая, действительно, тллюлая точка, опускаясь по дуге кривой, которая въ начале пути ближе подходитъ в.ъ вер­ тикальной .яиши чемъ прямая, прюбрететъ въ меньпхее время известную скорость, и потому пройденное ею пространство мо- жст'ь-быть значительно более того, которое она прошла-бы, дви­ гаясь но прямой лиши АВ. Вследств1е этого, по крайней м е р е въ начале двилсешя, проэкд1я точки, движущейся по кривой ли- н1и, на вертикальную лищю Ау будетъ впереди н р о э к ц к точки, *) Haananio это происходив отъ двухъ гречеонихъ слрвт.; Ppaj^iCTO<;-' 1фЯ.тчай|п1!5 и J((_pdV0(;—время. дача эта состоитъ въ следующемъ: тялселая точка иадаетъ изъ точки А въ точку В по какой нибудь кри­ вой; требуется определить видъ кри­ вой, по которой точка дойдетъ отъ А до В въ наименьшее время.