Курс вариационного исчисления

Зат'Ьмъ доикно сделать £ = 0; но / /(ж+ Ю- f i ^ ) \ _ ^ \ ^ / £ — 0 И такимъ образомъ способъ Фермата приводить къ у р а в н е нш Г ( ж ) == 0 . Фермата не указалъ однако общихъ пр1емовъ для отыскиван1я производннхъ отъ всяЕнхъ функд1й, почему при каждомъ прило- aceBiii его способа приходилось выполнять на самомъ д^л'Ь все указанное выше вычислеше. Вычислен1е это, вcл'Ьдcтвie присут­ ствия въ уравненш радикаловъ, тригонометрических!, функщй и т. п. д'Ьлалось иногда затруднительнымъ, и потому способъ Фер­ мата не всегда оказывался приложпмымъ. Лейбницъ, разд'Ьмющ!?] съ Ньютономъ славу OTEpu'ria диф- ферешцальнаго исчисления, въ нервомъ своемъ мемуар'Ь объ этомъ предметЬ (въ 1684 году), далъ общ1й способъ для нахо- ждешя наибольшихъ и наименьшихъ зпачен1й функц1й. Припом- нпмъ въ н'ЬсЕолькихъ сдовахъ, въ чемъ з а к л т а е т е я сущность этого способа. Пусть: и = / ( ж , г/,...). Максимумомъ называется значеше этой функц1и большее смеж- ныхъ съ нимъ значен1й, а .минимумомъ—значен1е меньшее смеж- иыхъ, такъ-что разность f {x-{-h, —) — f {х, у,...) для maximum'а отрицательна, а для minimum'a положительна. Разность эта есть полное приращен1е функцш Д м , которое, по строк'Ь Тейлора, напишется так.ъ-. . d4 . д « = л + + J ^ V — (Itb -J , du -I , г д4 m = ~ /г-f- т~- ^~т- совоЕупностъ членовъ йх (I tf съ безконечно мадыми 1-го порядна. Доказывается, что для зна- чешй maximum и minimum до.«но-быть d u = Q, п что по зна­ ку можно различить maximum отъ mi n imum а. Такимъ об­ разомъ процесст^ отъискан1я наибольшихъ и наименьшихъ значе- н1й состоитъ изъ двухъ частей: 1) в ъ полномъ и змЬне ти функ- ц1и совокупность безконечно малыхъ членовъ 1-го порядка долж­ на быть приравнена нулю и 2) знакъ суммы безконечно м а ш х ъ членовъ 2-го порядка служитъ для oтличiя maximum а отъ mi- nimum'a. Тотъ-же в ъ суш,ноети методъ употребляется и въ Bapiai],i0HH0Mb нсчислещи.