Курс вариационного исчисления

следовательно Д у будетъ без|:,0нет1н0-малымъ въ сравнеши съ Дж, т. е. u3M'hHeflia фунв.ц1и д'Ьлаются нечувствительными в г сосЬдств'Ь ея паибольшихъ и наименьшихъ значетй. Опособъ Фермата столь близокъ къ способу дифференщальнаго исчисле- шя, что Лагранжъ и 1аплас.ъ, велик1е авторитеты въ дйл'Ь на­ уки, считали Фермата изобрЬтателемъ новаго анализа. Самый способъ Фермата состоитъ въ сл'Ьдуюш.емъ; чтобы найти maxi ­ mum или mmimum функции, надо написать уравнение, выража­ ющее, что эта фупкц1я равна той-же функц1и, въ которой пере­ менному дано неопред'Ьденно малое приращен1е; ио сокращен1н въ об'Ьихъ частлхъ одинаковыхъ членовъ и разд'Ьлеи1й на это прйращен1е, мы получим-ь уравнеше, дающее рйшеше вопроса. Для примера разсмогримъ maximum выражещя: и = Ъх^ — ж'. Этотъ maximum соотв'Ьтствуетъ наибольшему объему цилиндра, шгисаннаго въ данный конусъ, при чемъ Ъ есть высота конуса, а X разстояп1е верхняго основаши цилиндра отъ вершины ко­ нуса. Дадимъ X неопред'Лленпо-малое 11рпращен1е £ и папишемъ, что величина фупкщи не изменится отъ этого приращеюя; бу- демъ им'Ьть: Ьж® — = Ъ [os е)® — (ж -|- £ )^ откуда О -= 2Ъхе + ~ З Л - Зж £ = - £ ^; по разд'Ь1ен1и н а £ получимъ; О — 2Ъх Ы — 'ix^ — Зже — Пренебрегая членами содержащими £ по ихъ неовредЬлен- ной малости, паходимъ: Зж® = 2Ъх, откуда: ж = ~ 3 Не трудно заметить, что сиособъ этотъ въ сущности одинаковъ съ предлагаемымъ въ днфферепщальномъ исчислеши. В'ь самомъ д4л'Ь, пусть и— f(x)\ тогда по способу Фермата f(x) = /•( ж + е ) ИЛ0: /(а' + Ю - /'(ж)= 0 . Разд'Ьляя на £ , находимъ: / (ж 4 - £ ) - / (ж) _